問題：
度量衡的換算，不背單位換算的話如何教？
孩子對換算的量感很不好（例如：15 公分＝（ ）公里，有時候孩子會回答 1500 公里。）
因為讀者們提出的問題並不明確，筆者提出一些有關量感及單位換算的先備經驗，讀完這些先備經驗後，應該對量感及單位換算的教學有些幫助。
先備知識
（一）單位量 v.s. 單位量的數量化
對國小學童而言，數字是用來描述離散量的個數，例如 2 條繩子、5 個水桶，7 顆蘋果，10 塊紙黏土等。當學童面對 1 條繩子長 50 公尺，或 1 塊紙黏土重 30 公克的情境時，他可能無法理解，為什麼 1 條繩子會冒出「 50 」公尺這個數字，或 1 塊紙黏土會冒出「 30 」公克這個數字。為什麼可以使用數字來描述繩子的長度或紙黏土的重量？這些數字是怎麼冒出來的？將這些量數字化對我們有哪些幫助？
有一個要被測量的量（例如甲繩），當我們選定「 1 公尺」當做測量長度的單位量，就可以利用單位量的累積次數，來描述甲繩的長度。例如將 50 個「 1 公尺」接起來，剛好和甲繩一樣長，就可以稱甲繩的長度和 50 個「 1 公尺」接起來一樣長，或簡稱甲繩的長度是 50 公尺。
當我們選定「 1 公克」當做測量重量的單位量，就可以利用單位量的累積次數，來描述紙黏土的重量，例如將 30 個「 1 公克」的砝碼合起來，剛好和紙黏土一樣重，就可以稱紙黏土和 30 個「 1 公克」合起來一樣重，或簡稱紙黏土的重量是 30公克。
我們也可以將單位量等分割，稱等分割後的量為單位分量，再利用單位分量累積的次數來描述不是整公尺長繩子的長度。例如將單位量「 1 公尺」平分成 10 份，得到單位分量 0.1 公尺，如果將 9 個 0.1 公尺合起來，剛好和乙繩一樣長，可以稱乙繩和 9 個 0.1 公尺接起來一樣長，或簡稱乙繩的長度是 0.9 公尺。相同的方式，將單位量「 1 台尺」平分成 5 份，得到單位分量1/5台尺，如果將 13 個1/5台尺接起來，剛好和丙繩一樣長，就可以稱丙繩和13/5個「 1 台尺」接起來一樣長，或簡稱丙繩的長度是13/5台尺。
透過上面的說明可以知道，當我們選定單位量，或將單位量等分割得到單位分量後，就可以利用單位量和單位分量累積的次數，將要測量的量數值化。例如以「 1公尺」為單位量，以「 0.1 公尺」為單位分量，如果丁繩和 5 個「 1 公尺」及 7 個「 0.1 公尺」接起來一樣長，就可以稱丁繩的長度是 5.7 公尺。
透過單位量將要測量的量數值化有兩個好處，以長度量為例，第一個好處是能描述被測量的繩子有多長，第二個好處是透過數字的大小，比較所有被測量繩子的長短。
（二）量感
長度、面積、容量、體積、角度、重量這六種感官量中，你估測那些量比較準？為什麼某些量容易估測，某些量不容易估測？為什麼太長或太短的長度情境，都不容易估測？能進行有效率的估測，要有哪些先備能力？
測量是將單位量數值化的結果，因此掌握的單位量愈多，愈容易描述測量的結果，例如你能掌握 1 公分的量感，就能透過1 公分累積的次數，描述鉛筆大約長多少公分。透過 1 公分的累積次數描述走廊有多長很困難，因為累積的次數太多，如果你能夠掌握 1 公尺的量感，就能透過 1 公尺累積的次數，描述走廊大約長幾公尺。
當我知道拇指和食指間的寬度是 7 公分（ 1 扠），我就能以 1 扠為單位量，測量黑板的長度，例如 40 個 1 扠接起來和黑板一樣長，黑板的長度就是 40 個 1 扠，也就是 280 公分。用 1 扠為單位量測量教室的周長太麻煩，若我也知道伸直雙手的長度是 170 公分，我就能以伸直雙手的長度為單位量，測量教室的周長，例如 30 個伸直雙手的長度接起來和教室的周長一樣長，教室的周長就是 170 公分×30 公分，大約是 51 公尺。
由以上的描述可以知道，必須心中有單位量，才能透過單位量的累積次數概略描述被測量的量是多少個單位量，多數成人估測長度及角度不會太離譜，估測重量比較困難。因為成人掌握較多長度的單位量，可以透過單位量累積的次數描述被測量的量和單位量的倍數關係，來描述繩子有多長；成人也能掌握直角是 90 度，可以透過和 90 度的比較，或將 90 度先分割再合成的方式，概略描述一個角是多少度。多數成人無法掌握 1 公克或 1 公斤的量，因此無法較正確的描述物體的重量。
（三）常用單位及公制單位
當遇到大數字時，成人經常「每四位一撇」做一個記號，這樣比較方便報讀，例如：將「30515802434002」改記成「30 , 5158 , 0243 , 4002」後，讀做三十兆（ 30 兆）五千一百五十八億（5158億）二百四十三萬（243萬）四千零二（4002），這樣記的好處，是只要掌握 10000 以內的數，就可以透過「壹」、「萬」、「億」、「兆」等單位來掌握大的數量。
下圖中，上面的表格每十倍就有一個單位，下面的表格每一萬倍才有一個單位，也就是說，「壹」、「萬」、「億」、「兆」等單位的個數都不會超過 10000 個，我們都利用下面的表格來報讀大數字。
在英美記數系統中，記大數字時會使用「三位一撇」的記號。它使用「個、十、百」來描述有幾個「壹（one）」、幾個「千（thousand）」、幾個「百萬（mill-ion）」、幾個「十億（billion）」……等。例如：英文將 1234567891 這個數改記成 1 , 234 , 567 , 891，讀做 one " billion "，two hundred thirty-four " million " , five hundred sixty-seven " thousand " , and eight hundred ninty-one。
所以英美的記數法就會使用「三位一撇」的記號，為了與國際接軌，我國的銀行營業員或會計人員也多使用「三位一撇」的記號。
以長度的單位為例，我國每十倍就有一個單位的名稱，例如公里、公引、公丈、公尺、公寸、公分、公厘都是長度的單位；公制單位每十倍也有一個單位的名稱，例如 km（千米）、hm（百米）、dam（十米）、m（米）、dm（分米）、cm（厘米）、mm（毫米） 都是長度的單位，但是日常生活中，並不需要用到這麼多的單位。
以公制長度的基本單位「米」為例，西方人認為 1000 以內的數量都是可以掌握的，因此 13 個「 1 米」稱為 13 米即可，並不需要引入新的單位「十米」，將 13 米稱為 1「十米」3「米」；278 個「 1 米」稱為 278 米即可，並不需要引入新的單位「百米」和「十米」，將 278 米稱為 2「百米」7「十米」8「 1 米」。當「 1 米」的個數超過 1000 個時，才需要引入新的單位「千米」，並將 2465 個「 1 米」稱為 2「千米」465「米」。
公制單位是西方人發明的，延伸西方人三位一撇的概念，在長度單位中，經常使用的單位是「千米」、「米」、「毫米」、「微米」、「奈米」，其中「千米」是「米」的 1000 倍，「米」是「毫米」的1000 倍、「毫米」是「微米」的 1000 倍、「微米」是「奈米」的 1000 倍，也就是說，經常使用的單位間都滿足 1000 倍的關係。
轉換成讀者們較熟悉的單位，日常生活中經常使用的長度單位是「公里」、「公尺」、「公厘」，經常使用的重量單位是「公噸」、「公斤」、「公克」，經常使用的容量單位是「公秉」、「公升」、「公撮」，相鄰兩個單位間都是 1000 倍的關係。
引入換單位概念時，應該先引入兩單位間的 10 倍關係，再引入兩單位間的 100 倍關係，最後才引入兩單位間的 1000 倍關係。因此國小數學課本中，除了出現上面這些常用的單位外，還引入了公分（厘米）和公合（分公升），其中 1 公尺＝100 公分、1 公分＝10 公厘，1 公升＝10 公合。換句話說，只要能掌握三位一撇的概念，再記憶公分和公尺、公分和公厘，以及公合和公升的倍數關係，就可以掌握不同單位間的倍數關係。
(文／國立台南大學數學教育系 謝堅教授)
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