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分數乘以分數

分數乘以分數的乘法問題有三個教學重點，第一個是如何解決真分數乘以真分數的乘法問題，第二個是如何引入真分數乘以真分數的乘法算則，第三個是如何解決假（帶）分數乘以假（帶）分數的乘法問題，及分數乘以分數的乘法算則。

一、如何解決分數乘以分數的乘法問題

以分數乘以分數的乘法問題「一瓶水有4/7公升，3/5瓶水有多少公升？」為例，題意是將4/7公升的水平分成 5 份後，再取出其中的 3 份，其中「 將4/7公升的水平分成 5 份」是分數除以整數、商數是分數的等分除問題，對學童而言是新問題。而「平分成 5 份後（ 1 份是4/35公升），再取出其中的 3 份」，是分數乘以整數的問題，是學童能夠掌握的舊問題。學童必須先解決分數除以整數，商數是分數的等分除問題後，才能解決分數乘以分數的乘法問題。

a.分數除以整數、商數是分數的等分除問題

以分數除以整數，商數是分數的等分除問題「 將4/7公升的水平分成 5 份， 其中的 1 份是多少公升？」為例，學童可能有兩種解題策略。

第一種解題策略

第一種是利用舊經驗整數除以整數、商數也是整數的等分除法解題，想辦法將原問題改寫成商數是整數除法的新問題。

　學童先將4/7公升擴分為20/35公升（20 個1/35公升），接著以1/35公升為新的單位，利用整數等分除法「20÷5＝4」，將20 個1/35公升平分成 5 份，算出其中的 1 份是 4 個1/35公升，也就是4/35 公升。在解題的過程中，學童並沒有分割題目中已知的單位量1/7 公升，及待求的單位量 1 公升。

第二種解題策略

第二種是利用分數的舊經驗解題，分數只能分割 1 個單位（ 例如：1 公升或 1 瓶），無法分割4/7公升。因此學童先將1/7公升平分成 5 份，其中的 1 份是1/35 公升，再將第二個1/7公升平分成 5 份， 其中的 1 份也是1/35公升，連續這樣的動作 4 次，就可以得到答案4/35公升，並使用算式「1/7÷5＝1/35，1/35 ×4＝4/35」記錄解題過程。

筆者建議分兩個步驟，進行真分數除以整數等分除問題的教學活動。第一個步驟先解決單位分數除以整數的等分除問題，第二個步驟再解決真分數除以整數的等分除問題。

步驟一  解決單位分數除以整數的等分除問題

以單位分數除以整數的等分除問題「將1/7公升的水平分成 5 份， 其中的 1 份是多少公升？」為例，大部分的人會先畫一個長方形代表1/7公升，再將1/7公升平分成 5 份，說明其中的 1 份是1/35公升，但這是一種錯誤的教學方式。因為在圖中只能看到將1/7公升平分成 5 份的畫法 ， 看不到將 1 公升平分成 35 份後，得到1/35公升的結果。


↑「將1/7公升的水平分成 5 份，其中的 1 份是多少公升？」錯誤的教學繪圖法

題目問的是「其中的 1 份是多少公升？」，因此必須先畫出題目中待答的單位 1 公升，將 1 公升平分成 7 份後，才會得到題目中已知的1/7公升，將1/7公升平分成 5 份後，再看其中的 1 份是多少公升。
下圖中很容易看到將1/7公升平分成 5 份後，其中的 1 份是將 1 公升平分成 35 份得到的。透過下頁的圖，學童可以用算式「 7×5＝35，答：1/35 公升」，記錄 1 公升被平分成 35 份，其中的 1 份是1/35公升的結果，或用算式「1/7÷5＝1/(7×5)＝1/35」或「1/7÷5＝1/35」記錄解題的過程。

建議讀者透過對話，確定學童理解算式「1/7÷5＝1/(7×5)＝1/35」或「1/7÷5＝1/35」解題的意義。

↑「將1/7公升的水平分成 5 份，其中的 1 份是多少公升？」正確的教學繪圖法

步驟二  解決真分數除以整數的等分除問題

以真分數除以整數的等分除問題為例「將1/7公升的水平分成 5 份，其中 1 份是多少公升？」，學童已有單位分數除以整數等分除問題的解題經驗，可先將1/7公升平分成 5 份，其中 1 份是1/35公升，再將第二個1/7公升平分成 5 份，其中 1 份也是1/35公升，連續此動作 4 次，能得到答案4/35公升，並使用算式「1/7÷5＝1/35，1/35×4＝4/35」記錄解題過程。再用算式「4/7÷5＝4/35 」摘要記錄上述算式，並理解算式「4/7÷5＝4/35」解題的意義。

建議讀者先以長方形代表 1 公升，說明上述問題解題的意義，再用圓或線段代表 1 公升，再次說明上述問題解題的意義，請注意，用圓或線段代表 1 公升時，必須進行 4 次將1/7公升平分成 5 份的動作，才會得到正確的答案。

b.真分數乘以真分數的分數乘法問題

以真分數乘以真分數的乘法問題「一瓶水有4/7公升，3/5瓶水有多少公升？」為例，當學童解決「 將4/7 公升等分成 5 份，其中的 1 份是4/35公升 」後，就能透過分數乘以整數算出答案 ， 並用算式「4/7÷5＝4/35，4/35×3＝12/35」記錄解題過程。　算式「4/7÷5＝4/35，4/35×3＝12/35」記錄了詳細的解題過程， 但是沒有記錄題目是什麼， 因此我們可以要求學童將上面的算式改用「4/7×3/5＝12/35」來記錄 。 並且必須透過對話，確定學童理解算式「4/7×3/5＝12/35」解題的意義。

二、如何引入真分數乘以真分數的乘法算則

筆者出一題選擇題考讀者（有兩個正確答案），檢查讀者們是否理解真分數乘以真分數問題解題的意義。

Q：面對問題「一瓶水4/7公升，3/5瓶水有多少公升？」時，可以透過「分子乘以分子，分母乘以分母」的方式算出答案，請問下列說法何者正確？

　　1. 分母乘以分母，是將 1 瓶水平分 成 35 等份的意思。

　　2. 分母乘以分母，是將 1 公升平分成  35 等份的意思。

　　3. 分子乘以分子，是有 12 個1/35瓶水的意思。

　　4. 分子乘以分子，是有 12 個1/35公升的水的意思。

正確的答案是2、4，如果讀者們沒有選出正確的答案，表示讀者並沒有掌握真分數乘以真分數問題解題的意義，請再次詳讀「如何解決分數乘以分數的乘法問題」的說明後，再閱讀「如何引入真分數乘
以真分數的乘法算則」的說明。

a.真分數乘以真分數的分數乘法問題，是兩次分割的問題

　以真分數乘以真分數的乘法問題「一瓶水有4/7公升，3/5瓶水有多少公升？」為例，對解題者而言，該問題是一次分割的問題，只要將題目中的4/7公升平分成 5 份，再取出其中的 3 份就能得到答案，但是對待答的單位量 1 公升而言，是二次分割的問題。第一次分割是命題者進行的，命題者將 1 公升平分成 7 份，取出其中的 4 份得到4/7公升， 第二次分割是解題者所進行的，解題者將4/7公升平分成 5 份，取出其中的 3 份得到12/35公升。換句話說 ，1 公升第一次被命題者 7 等分割，第二次被解題者 5 等分割， 1 公升進行二次等分割後，得到新的單位1/35公升（ 7×5＝35 ），累積 12 個1/35 公升後得到答案12/35公升。

b.真分數乘以真分數的乘法算則

在學童解決真分數乘以真分數的乘法問題後，建議透過下面的教學步驟，說明為什麼可以透過「分子乘以分子，分母乘以分母」的方式算出答案。

步驟一

因為題目問「水有多少公升」，所以請先畫一個長方形表示 1 公升，接著畫出4/7公升表示 1 瓶水 ， 也就是將代表 1 公升的長方形平分成 7 份 ， 取出其中的 4 份，並在這 4 份上畫左低右高的斜線。

步驟二

以 1 瓶水為單位（畫左低右高斜線的部份 ），畫出3/5瓶水， 也就是將左低右高斜線的部份，平分成 5 小份，再取出其中的 3 小份，並在這 3 小份上畫右低左高的斜線，斜線重疊的部份就是待求的答案。

步驟三

和 1 公升（原來的長方形）比較，1 公升被分割成幾塊，是否可以用算式「7 × 5＝35 」算出 1 公升被分割成 35 塊，其中 1 塊是1/35公升。算算看， 斜線重疊的部份有幾塊， 是否能用算式「4×3＝12」算出有 12 塊，這 12 塊合起來是12/35公升。

步驟四
看著算式「4/7×3/5＝4×3/7×5 」說說看：「分母乘以分母（7×5）」，是否記錄了將 1 公升（原來的長方形）先平分成 7 份、再平分成 5 小份，也就是將 1 公升平分成 35（7×5）塊，而其中的 1 塊是1/7×5公升。「分子乘以分子（3×4）」是否記錄了有 12 個1/7×5公升，也就是 12 個1/35公升？
 

三、如何解決假（帶）分數乘以假（帶）分數的乘法問題，及分數乘以分數的乘法算則

a.假分數乘以假分數的乘法問題，及分數乘以分數的乘法算則

以假分數乘以假分數的乘法問題「一瓶水有7/4公升，5/3瓶水有多少公升？」為例，家長或教師都會透過類比方式告訴學童，假分數乘以假分數的乘法問題，也可以透過真分數乘以真分數的乘法算則「分子乘以分子，分母乘以分母」算出答案。

建議讀者透過真分數乘以真分數乘法算則的解題步驟，說明為什麼也可以透過「分子乘以分子，分母乘以分母」的方式，算出假分數乘以假分數乘法問題的答案。

步驟一

因為題目問「水有多少公升」，請先畫一個長方形表示 1 公升，接著畫出7/4公升表示 1 瓶水，也就是將代表 1 公升的長方形平分成 4 份，取出其中的 7 份，並在這 7 份上畫左低右高的斜線。

步驟二

以 1 瓶水為單位（畫左低右高的斜線部份）畫出5/3瓶水，也就是將左低右高的斜線的部份，平分成 3 小份，再取出其中的 5 小份，並在這 5 小份上畫右低左高的斜線，斜線重疊的部份就是待求的答案。

步驟三
和 1 公升的長方形比比看，1 公升被分割成幾塊？是否可以用算式「4×3＝12」算出 1 公升被分割成 12 塊，其中的 1 塊是1/12公升，再算算看全部有幾塊，是否可以用算式「 7×5＝35」算出有 35 塊，這 35 塊合起來是35/12公升。

步驟四

看著算式「7/4×5/3＝7×5/4×3 」說說看：「分母乘以分母（4×3）」，是否記錄了將 1 公升（原來的長方形）先平分成 4 份、再平分成 3 小份，而得到其中的 1 份是1/4×3公升。「分子乘以分子（7×5）」是否記錄了有 35 個1/4×3 公升，也就是 35 個公升？

b.帶分數乘以帶分數的乘法問題

以帶分數乘以帶分數的乘法問題「一瓶水有 2+4/7公升，1+3/5瓶水有多少公升？」為例，學童可能有兩種解題策略。

第一種解題策略

第一種策略是將帶分數改寫成假分數後，再透過「分子乘以分子，分母乘以分母」的方式算出答案。並且用算式「2+4/7 ×1+3/5 ＝18/7×8/5＝18×8/7×5＝144/35」記錄解題過程。

第二種解題策略

第二種策略是利用乘法對加法的分配律解決問題，並用算式「2+4/7×1+3/5 ＝(2＋4/7)×(1＋3/5 )＝(2＋4/7 )×1＋(2＋4/7 )×3/5=2×1+4/7×1+2×3/5+4/7×3/5=2+4/7+6/5+12/35=144/35」
記錄解題過程。

由上面這兩種解題策略，很容易看出第一種策略比第二種策略有效率，建議讀者先幫助學童使用這兩種解題策略解題，再建議學童使用第一種策略解題。

乘法問題的統整

1. 整數乘以整數：2×5＝？

2. 分數乘以整數：2/13×5＝？

3. 整數乘以分數：5×2/13＝？

4. 分數乘以分數：4/7×3/5＝？

透過上面的說明，讀者是否可以將上面四種乘法問題視為相同的數學模型？建議讀者在學童學會分數乘以分數的乘法問題後，再將整數乘以整數、分數乘以整數、整數乘以分數問題，重新解讀為兩次分割的問題。也就是說，將整數乘以整數、分數乘以整數、整數乘以分數問題，視為分數乘以分數問題的特例。

1. 整數乘以整數：
2×5=2/1×5/1=2×5/1×1

2. 分數乘以整數：
2/13×5=2/13×5/1=2×5/13×1

3. 整數乘以分數：
5×2/13=5/1×2/13=5×2/1×13

4. 分數乘以分數：

4/7×3/5=4×3/7×5

(文／國立台南大學數學教育系  謝堅教授)