（4）打幾折；ppm、ppb：
百貨公司週年慶的時候，我國常使用打7 折來溝通定價與售價間的部份與全體的關係，打 7 折指的是當定價是 10 個單位的時候，售價是 7 個單位。因為打折和加成的概念相同，因此筆者只討論如何引入打折的定義，以及如何解決打折的問題。
西方國家沒有打折的記法，他們常使用『30 off』來溝通打 7 折的關係，『30 off』是百分率的記法，指折價的部份是定價的 30％，也就是售價比定價少 30％。
如何定義打 7 折（溝通「定價 30 元，賣 21 元」的關係）。
筆者提供三種定義打 7 折，也就是溝通『定價 30 元，賣 21 元』關係的方法，讀者們想想看，哪一種方法最容易引入打折的意義，哪一種方法對解題最有幫助。教師或家長們請注意，不同定義打折的方法，會產生不同的解題策略，不宜透過甲方法定義打 7 折，但是卻使用乙方法幫助學童解題。
第一種方法
售價：定價＝21：30＝0.7：1＝0.7，將定價視為全體量 1，而部份量售價是 0.7，稱售價是定價的 0.7 倍，並將售價是定價的 0.7 倍稱為打 7 折出售。
第二種方法
售價：定價＝21：30＝70：100＝70％，將定價視為全體量 1（或 100％），而部份量售價是 70％，稱售價是定價的 70％，並將售價是定價的 70％ 稱為打 7 折出售。
第三種方法
售價：定價＝21：30＝7：10＝7 折（省略全體量 10），當全體量定價是 10，而部份量售價是 7 時，稱為打 7 折出售。
多數成人喜歡透過第一種或第二種方式引入打 7 折的意義，因為售價是定價的 0.7 倍，或售價是定價的 70％都是成人習慣的用法。筆者認為第三種定義方式才符合打 7 折的意義，因為引入打折的目的是為了逃避使用小數或分數倍來溝通部份與全體的關係，所以將基準量放大為 10 倍，讓部份的量變成整數 7。
定價 200 元，打 7 折時賣多少元？
這個問題情境是正向的描述方式，不論透過哪一種定義方式引入 7 折都可以順利的解決問題。如果打 7 折指的是「售價是定價的 0.7 倍」，學童會利用乘數是小數的乘法來解決問題，並用算式『200×0.7＝140』記錄解題活動。如果打 7 折指的是「售價是定價的 70％」，學童會利用乘數是百分率或分數的乘法來解決問題，並用算式『200×70％＝200×70/100＝140』記錄解題活動。
如果打 7 折指的是「售價：定價＝7：10」，學童會用比的概念解決問題，學童可能先用四項比例式『x：200＝7：10』記錄問題，再用相等比的概念或內項乘以內項等於外項乘以外項，算出 x ＝140，也就是賣 140 元。
打 7 折時賣 140 元，定價為何？
這個問題情境是逆向的描述方式，透過第一種或第二種定義方式引入 7 折的學童可能混淆該用乘法或除法來解決問題的意義，筆者建議先要求學童用算式填充題記錄問題後再解決問題。
如果打 7 折指的是「售價是定價的 0.7倍」，建議先用乘數是小數的乘法算式填充題『（ ）×0.7＝140』來記錄問題，再利用乘除互逆的概念，用除法算式『140÷0.7＝200』算出定價是 200 元，或利用等量公理，兩邊同時除以 0.7，算出『（ ）＝140÷0.7＝200』。
如果打 7 折指的是「售價是定價的 70％」，建議先用乘數是分數或百分率的乘法算式填充題『（ ）×70％＝140』來記錄問題，再利用乘除互逆的概念，利用除法算式『140÷70％＝140÷70/100＝200』算出定價是 200 元，或利用等量公理，兩邊同時除以 70％或70/100，算出『（ ）＝140÷70％＝140÷70/100＝200』。
如果打 7 折指的是「售價：定價＝7：10」，學童用比的概念解決問題時，較不會混淆 x 該記在哪一邊的意義，學童可以先用四項比例式『140：x＝7：10』記錄問題，再用相等比的概念或內項乘以內項等於外項乘以外項，算出 x＝200，也就是定價是 200 元。
如何定義打 75 折（溝通「定價 100 元，賣 75 元」的關係）？
讀者們想想看，75 折和 7 折的意義是否相同？如果您透過第一種定義方式引入 7 折，75 折和 7 折的意義是相同的，如果您透過第三種定義方式引入 7 折，75 折和 7.5 折的意義是相同的。
如果打 7 折的定義是「售價是定價的 0.7 倍稱為打 7 折出售」，引入 75 折的定義並沒有困難，因為「售價是定價的 0.『75』倍稱為打『75』折出售」和「售價是定價的 0.『7』倍稱為打『7』折出售」的意義相同。
如果打 7 折的定義是「售價：定價＝21：30＝7：10＝7 折（省略基準量 10）」，建議先引入「售價：定價＝75：100＝7.5：10＝7.5 折（省略基準量 10）」，再與學童溝通日常生活中將 7.5 折稱之為 75折。
ppmˇppb
ppm、ppb 和百分率及打折的意義相同，都是比值的概念，為了使用整數來溝通部份與全體的關係，當部份量很小時，常將全體量放大為10倍、100 倍、1000000 倍或 1000000000 倍，讓部份量可以變成整數。換句話說，當全體量放大為 10 倍時，我們稱『7：10』的部份與全體關係為『7 折』，當全體量放大為 100倍時，我們稱『7：100』的部份與全體關係為『7％』，當全體量放大為 1000000 倍時，我們稱『7：1000000』的部份與全體關係為『7 ppm』，當全體量放大為 1000000000 倍時，我們稱『7：1000000000』的部份與全體關係為『7 ppb』。
以部份量是 0.007 公克，全體量是 1000公克為例，『0.007：1000 ＝7/1000000：1』，我們說部份量是全體量的7/1000000倍或 0.000007 倍；『0.007：1000＝7/10000：100』，我們說部份量是全體量的7/10000％或 0.0007％，因為7/1000000、7/10000、0.000007、0.0007 這些分數與小數都不易掌握，因此我們將『0.007：1000』的後項放大為 1000000，將『0.007：1000』改記成『 7：1000000 』，並稱 7：1000000＝7 ppm（將後項 1000000 省略）。
相同的方式，我們稱 7：1000000000＝7 ppb（將後項 1000000000 省略）。
（5）百分率的應用
筆者提出二種日常生活中經常使用到百分率的情境，與讀者們討論如何將 1％或1 ppm 視為單位，較快速的解決百分率的問題。
例題
南部七縣市共有 26250 名國小學生，一年級的學生佔 12％，二年級的學生佔 14％，三年級的學生佔 16％，四年級的學生佔18％，五年級的學生佔 20％，請問六年級的學生有多少人？
筆者列出兩種解決上述問題的算法，讀者們比較看看，哪一種算法比較有效率？
第一種算法：
一年級的人數：26250×12％＝3150
二年級的人數：26250×14％＝3675
三年級的人數：26250×16％＝4200
四年級的人數：26250×18％＝4725
五年級的人數：26250×20％＝5250
六年級的人數：26250－（3150＋3675＋4200＋4725＋5250）＝5250
第二種算法：
一至五年級學生：12％＋14％＋16％＋18％＋20％＝80％
六年級學生人數：100％－80％＝20％，26250×20％＝5250
第一種算法是以 1 人為單位的算法，第二種算法是以 1％為單位的算法。教師或家長們請注意，如果沒有成人的幫助，多數學童都會使用第一種算法，建議要幫助學童使用第二種算法解題，因為第二種算法的概念很重要，而且比較有效率。
例題
如果 100 公克的水中，甲物質佔了 5 ppm，乙物質佔了 200 ppb，請問甲物質的重量是乙物質重量的多少倍？
筆者列出三種解決上述問題的算法，第一種算法是以 1 公克為單位的算法，第二種算法是以 1 ppm 為單位的算法，第三種算法是以 1 ppb 為單位的算法。讀者們想想看，哪一種方法比較有效率，以及如何幫助學童使用該方法解題。
第一種算法：以 1 公克為單位，先分別算出兩種物質有多少公克，再求它們的倍數關係。
『100×5ppm＝100×5/1000000＝0.0005』，甲物質重 0.0005 公克，『100×200ppb＝100×200/1000000000＝0.00002』，乙物質重 0.00002 公克『0.0005÷0.00002=25』，甲物質的重量是乙物質重量的 25 倍。
第二種算法：因為全體量都一樣，以 1 ppm 為單位，直接算出部份量的倍數關係。
甲物質佔 5 ppm，乙物質佔 200 ppb，200 ppb＝200/1000ppm＝0.2ppm。 5÷0.2＝25（倍），甲物質的重量是乙物質重量的 25 倍。
第三種算法：因為全體量都一樣，以 1 ppb 為單位，直接算出部份量的倍數關係。
甲物質：5 ppm＝5000 ppb
乙物質：200 ppb
5000÷200＝25（倍），甲物質的重量是乙物質重量的 25 倍。
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