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（二）百分率的教學

筆者區分成五個部份與讀者們討論百分率的教學，第一部份討論現行課程標準中百分率的教材地位；第二部份討論如何幫助五年級學童學習百分率；第三部份討論如何利用百分率溝通部份與全體的關係；第四部份討論打幾折、增加幾成，ppm、ppb，第五部份討論百分率的應用。

（1）現行課程標準中百分率的教材地位：

依據國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域能力指標，國小五年級就引入百分率的教材，『見分年細目 5－n－12：能認識比率及其應用（含「百分率」、「折」）』。該分年細目的說明中表示，「比率」是分數課題之一；大多數情境強調的是部份佔全體多寡與其表示法，而百分率是最常使用的比率表示法。

因為課程標準在國小六年級才引入比和比值的教材，『見分年細目 6－n－07：能認識比和比值，並解決生活中的問題。』，因此分年細目 5－n－12 的說明中表示，在五年級的教學中只處理部份量與全體量為整數或可恰好轉化為整數的量，例如「100 個人中有 75 個人及格」及格人數的比率是＝ 0.75；以及全部量與比率已知，推得部份量的情況，例如「全校 500 名學童，其中女生的比率為 0.65，請問女生有多少人？」。至於部份量與所佔比率已知，推得全部量的問題，到六年級才處理。

筆者在大嘴鳥雜誌「比與比值」主題中，強調 7％是同類項比值的記法，指的是當全體是 100，部份是 7 的時候，7：100 的比值可以記成 7％。因此建議教師及家長們面對五年級百分率教材時，利用商數是分數的包含除概念解決百分率的問題，等待六年級引入比和比值的教材後，再利用比值的概念重新澄清百分率是比值的意義。

（2）如何幫助五年級學童學習百分率：

課程標準在國小五年級引入商數是分數的包含除教材，『見分年細目 5－n－06：能在測量情境中，處理分數之「整數相除」的意涵。』，分年細目中說明，給定一條長繩長度為 35 公分，以一段長度為 4 公分的木條去測量並標記（想成要將長繩剪成 4 公分長的短繩）。由整數計算得知 35除以 4 得到 8（段），還剩下 3 公分。3 公分的長度，相當於 4 公分的3/4段，因此可將剩下的 3 公分的繩子，記成3/4段。於是可以將整個測量的結果，記成 35÷4＝8＋3/4（段）。

因為百分率是用來溝通部份量和全體量的關係，而部份量和全體量的單位一定相同，因此可以仿分年細目 5－n－06 的處理方式，用包含除的概念解決百分率的問題。以「100 個人中有 75 個人及格」的問題情境為例，可以用除法算式『 75÷100＝（　）』算出以 100人為單位時，75 人佔 100 人的75/100，也就是說100 人當做 1 份時，75 人是 0.75 份，其中的 1 份可以記成 100％，0.75 份可以記成 75％。有了上面的想法，學童可以知道有 75％的同學及格，就會有 25％的同學不及格，並用算式『1－75％＝1－75/100＝25/100＝25％』或『1－75％＝100％－75％＝25％』記錄解題過程。

（3）如何利用百分率溝通部份與全體的關係：

筆者提出二種日常生活中經常使用百分率的情境，分別與讀者們討論如何引入百分率符號的記法，以及如何正確的使用百分率符號。

例題：全校有 200 位學生，戶籍在東區的有 54 人，在南區的有 36 人，在西區的有 24 人，在北區的有 40 人，在中區的有 46 人。

上面問題情境中 200 位學生是全體量，而各區的學生是部份量，讀者們想想看，當六年級學童學過比和比值之後，用什麼方式或記法來溝通各區學生人數與全體學生人數的部份與全體關係較恰當？

筆者提出三種記法，請讀者們判斷哪一種記法較能夠溝通各區學生人數與全校學生人數的部份與全體的關係？

第一種記法：利用「各區學生人數：全校學生人數」的最簡單整數比來溝通部份與全體關係。

東區：全校＝54：200＝27：100
南區：全校＝36：200＝ 9：50
西區：全校＝24：200＝ 3：25
北區：全校＝40：200＝ 1：5
中區：全校＝46：200＝23：100

第二種記法：將「各區學生人數：全校學生人數」改記成比值，再將比值化為最簡分數來溝通部份與全體關係。

東區：全校＝54：200＝54÷200＝27/100
南區：全校＝36：200＝36÷200＝ 9/50
西區：全校＝24：200＝24÷200＝ 3/25

北區：全校＝40：200＝40÷200＝1/5
中區：全校＝46：200＝46÷200＝23/100

第三種記法：將「各區學生人數：全校學生人數」改記成比值，並將比值的分母都變成 100 後，改用百分符號來溝通部份與全體關係。

東區：全校＝54：200＝54÷200＝27/100 ＝27％　 
南區：全校＝36：200＝36÷200＝18/100 ＝18％
西區：全校＝24：200＝24÷200＝12/100 ＝12％
北區：全校＝40：200＝40÷200＝20/100 ＝20％
中區：全校＝46：200＝46÷200＝23/100 ＝23％

讀者們可以發現，第一種利用最簡單整數比的記法，以及第二種將比值化為最簡分數的記法都不易溝通部份與全體的關係，因為全體量的數值都不相同，部份量數字的大小與原來所佔份量的大小無關。而第三種利用百分符號的記法最容易溝通，例如看到百分符號 27％，就可以知道全體是 100 時，部份是 27 的部份與全體的關係，看到百分符號 27％和 18％，也可以知道兩個部份量相差 9％。

有兩種引入百分率記法的方法，第一種方法是將比值的分母改記成 100 後引入百分率的記法，例如『東區：全校＝54：200＝54÷200＝27/100＝27％』。第二種方法是將比值的後項變成 100，再仿比值引入的方式，透過省略後項 100 引入百分率的記法，例如「東區：全校＝54：200＝27：100＝27％」。筆者建議透過第二種方法引入百分率的記法，因為第一種引入方式會讓學童誤認為 27％只是它的另一種記法，而不知道百分率是比或比值的意義，無法利用比的概念解決百分率的問題（想知道更多相關訊息，請參閱大嘴鳥雜誌第 155 期至第 156 期比與比值的說明）。

鹽水的濃度

日常生活中常使用百分率來溝通鹽水的濃度，試題中也常出現鹽水濃度的問題，有經驗的教師都知道，學童解濃度問題時常發生錯誤，學童產生錯誤的原因有很多，其中主要的原因之一是混淆全體量是水或是鹽水。筆者先提出兩種鹽水濃度的定義，讀者們想想看，這兩種定義鹽水濃度的方法，哪一種比較恰當？為什麼？

第一種：100 公克的水中有 5 公克的鹽，稱鹽水的濃度是 5％。

第二種：100 公克的鹽水中有 5 公克的鹽，稱鹽水的濃度是 5％。

第一種定義方式是部份和部份的關係，鹽和水之間沒有包含的關係，因此不是部份與全體的關係，不適合使用百分率的記法來溝通兩者的關係。多數教材都透過部份比部份的情境引入比的意義，因此很多學童誤認為鹽水濃度的定義是「水：鹽」，誤將水當作全體的量，因此產生錯誤的答案。

第二種定義方式才是部份和全體的關係，鹽水是全體，鹽和水都是部份，因為百分率是溝通部份與全體的關係，如果我們討論的對象是鹽水的濃度，全體量應該是鹽水，也就是鹽水（95 公克的水和 5 公克的鹽）是全體，水和鹽都是部份，建議引入鹽水濃度的問題時，教師應先強調鹽水濃度的意義。