（3）最簡單整數比及其應用
a.特例及等價類：
冷飲店的夥計用 2cc 的牛奶加 5cc 的紅茶泡出奶茶嘗味道，可以用「 2cc：5cc 」記錄這次泡出奶茶中牛奶和紅茶體積的比；冷飲店的夥計用 200cc 的牛奶加 500cc的紅茶泡出 1 杯大杯的奶茶賣給顧客，可以用「 200cc：500cc 」記錄這次泡出奶茶中牛奶和紅茶體積的比；冷飲店的夥計用120cc 的牛奶加 300cc 的紅茶泡出 1 杯小杯的奶茶賣給顧客，可以用「 120cc：300cc 」記錄這次泡出奶茶中牛奶和紅茶體積的比；冷飲店夥計用 10000cc 的牛奶加25000cc 的紅茶泡出 1 桶奶茶慢慢的賣，可以用「 10000cc：25000cc 」記錄這次泡出奶茶中牛奶和紅茶的比；這四種泡奶茶的方式都是特例。因為泡出奶茶的味道相同，所以這四個比相等，可以記成 2：5＝200：500 ＝ 120：300 ＝ 10000：25000。
冷飲店老闆為了讓奶茶的品質一致，規定夥計一定要按照「牛奶：奶茶＝ 2：5」的方式泡出奶茶，此時「牛奶：奶茶＝ 2：5 」是一個等價類，透過「牛奶：奶茶＝ 2：5 」的方式，我們可以泡出 1 大杯、1 小杯、1 桶的奶茶，而這些奶茶的味道都一樣。
b.最簡單整數比：
學童剛開始所記錄的比都是特例，透過最簡單的整數比，可以將 1 大杯奶茶中牛奶和紅茶體積的比記成「 200：500 ＝ 2：5 」，將 1 小杯奶茶中牛奶和紅茶體積的比記成「 120：300 ＝ 2：5 」，將 1 桶奶茶中牛奶和紅茶體積的比記成「 10000：25000 ＝ 2：5 」，此時最簡單的整數比「2：5 」是等價類，指的是 2 份牛奶要加 5份紅茶。
多數成人在進行最簡單整數比的教學活動時，都偏向如何求出最簡單整數比，例如強調找出比的前項和後項的最大公因數來約分，就能夠算出最簡單整數比，或強調當比的前項和後項互質時，這個比就是最簡單整數比，而忽略最簡單整數比是等價類的意義。
學童剛開始所記錄的「 2：5 」是特例，學完最簡單整數比後的「 2：5 」是等價類，它們的意義是不同的，多數成人心中的比都是等價類，但是學童心中的比可能是特例，家長及教師們教學時應區分學童心中的比是特例或是等價類的概念。
c.最簡單整數比的應用：
問題三
6 枝鉛筆賣 9 元，8 枝鉛筆賣幾元？
「 9÷6＝3/2，3/2×8＝8X3/2＝12」是用單價法解問題三的計算過程，「 8÷6＝4/3，9×4/3＝9X4/3＝12 」是用倍數法解問題三的計算過程，當學童不會「整數除以整數，商數是分數的等分除問題」，以及「分數乘以整數的乘法問題」或「整數乘以分數的乘法問題」時，無法解決問題三，因為它們是解問題三的先備經驗。
但是當學童能將「 6 枝鉛筆賣 9 元」視為一個計數單位，並能將這個單位三等分割為最簡單整數比，也就是將「 6 枝鉛筆賣 9 元」三等分割為「 2 枝鉛筆賣 3 元」，就可以透過複製或累積 4 次「 2 枝鉛筆賣 3 元」，得到「8 枝鉛筆賣 12 元」的答案。
問題四
15 顆紅球和 12 顆藍球合起來重 60 公斤（每顆紅球都一樣重，每顆藍球都一樣重），請問 40 顆紅球和 32 顆藍球合起來重多少公斤？
如果讀者們能將「15 顆紅球和 12 顆藍球合起來重 60 公斤」視為一個單位，透過累積 2 次「 15 顆紅球和 12 顆藍球合起來重 60 公斤」可以得到「30 顆紅球和 24顆藍球合起來重 120 公斤」，透過累積 3 次「15 顆紅球和 12 顆藍球合起來重 60 公斤」可以得到「45 顆紅球和 36 顆藍球合起來重180公斤」，但是無法算出問題四的答案。
如果讀者們能將「15 顆紅球和 12 顆藍球合起來重 60 公斤」視為一個單位，將這個單位三等分割為最簡單的整數比，得到「5 顆紅球和 4 顆藍球合起來重 20 公斤」，再將這個最簡單整數比累積 8 次，就可以得到「40 顆紅球和 32 顆藍球合起來重 160 公斤」的答案。
（4）連比
問題五
a：b＝2：5，b：c＝3：7，求a：b：c＝？
依據國民中小學課程綱要數學學習領域分年細目能力指標「7－n－18：能理解連比和連比例的意義」及「7－n－19：能熟練連比例式的應用，如單位換算、三角形面積與邊長或圓面積與半徑間的變化關係」，連比屬於國中一年級的教材，但是多數國小六年級的試題及公司的教材中都出現連比的問題，而且利用連比解倍的問題很有效率，因此筆者概略的說明如何幫助國小學童學習連比。
問題五是多數學童第一次接觸到的連比問題，透過解問題五引入連比的意義很奇怪，因為學童只學過兩個數的比，突然要求學童算出從來都沒有見過的三個數的連比，沒有成人的解題引導讓學童模仿，學童能算出答案嗎？
問題五中待答的問題是連比，因此學童必須先理解連比的意義，解決問題五才有意義，下面筆者先說明如何幫助學童理解連比的意義，再說明如何幫助學童解決問題五。
兩個數的比及三個數的比都是日常生活中常見的比，當學童學會兩個數的比後，面對問題「媽媽拿了 15 公克的咖啡、35 公克的奶精和 50 公克的糖，調出一壺三合一咖啡，想想看，如何用比與別人溝通三合一咖啡中咖啡、奶精和糖重量的比例？」時，應該有能力使用連比「咖啡：奶精：糖＝15：35：50＝3：7：10」來溝通咖啡、奶精和糖重量的比。學童面對三個數的連比問題「紅茶：牛奶：糖＝80：25：1，請調出一杯奶茶」時，應該也能夠順利的調出奶茶。
當學童理解三個數連比的意義後，建議先引入學童較能掌握意義的文字題後，再引入較抽象的計算問題，以問題『三合一咖啡中，咖啡：糖＝3：10，咖啡：奶精＝6：13，請問三合一咖啡中「咖啡：奶精：糖＝？」』為例，學童透過相等的比的概念，將咖啡的量變成一樣，就能夠解決問題。
咖啡：糖＝3：10＝6：20，咖啡：奶精＝6：13，因為 6 份咖啡要加 20 份的糖、6 份咖啡要加 13 份的奶精，因此得到「咖啡：糖：奶精＝6：20：13」的答案。當學童有一些文字題的解題經驗後，再要求學童解問題五這類計算問題，有了情境的支撐，學童較能掌握計算問題的意義。
（5）影響比的教學難度的因素
當學童能掌握整數除以整數，商數是分數的等分除問題、以及整數乘以整數的乘法問題，就能夠利用單價法、倍數法以及視比為單位策略解決比的問題，因此國小二、三年級就可以開始引入比的問題，但是家長與教師們應注意下列三個影響比的問題難度的因素，選擇適當數字的問題讓學童解題。第一個影響難度的因素是比例式中數字的倍數關係、第二個影響難度的因素是比例式中括號的位置、第三個影響難度的因素是比例式中數字的型式。
a.第一個因素：比例式中數字的倍數關係
四項比例式中數字的倍數關係可以區分為整數倍轉換、單位分數倍轉換及分數倍轉換三類，其中整數倍轉換最簡單，分數倍轉換最困難。
整數倍轉換
比的問題都可以記成四項比例式，例如「 3 枝鉛筆賣 12 元，7 枝鉛筆賣幾元？」，可以記成「 3︰12＝7︰（ ）」，為了節省文字描述，筆者利用四項比例式和讀者們溝通問題的類型，如果讀者們無法掌握使用四項比例式溝通題型的意義，可以將四項比例式的問題改寫回文字題。
以問題「 3︰12 ＝7︰（ ）」為例，四項比例式中第一項和第二項間有整數倍關係時，學童可以利用單價法解決問題，並用算式「 12÷3＝4，4×7＝28 」記錄解題活動。再以問題「 3︰7＝12︰（ ）」為例，四項比例式中第一項和第三項間有整數倍關係時，學童可以利用倍數法解決問題，並用算式「 12÷3＝4，7×4＝28」記錄解題活動。
單位分數倍轉換
以問題「 12︰3＝28︰（ ）」為例，四項比例式中第一、二項間有單位分數倍關係，學童可以利用單價法解決問題，並用算式「 3÷12＝3/12＝1/4，1/4×28＝7」記錄解題活動，如果學童不會「整數除以整數，商數是分數的等分除問題」，學童也可以透過倍數法的想法，利用整數除法解決問題，12 是 3 的 4 倍，所以 28 是（ ）的 4 倍，並用算式「 12÷3＝4，28÷4＝7」記錄解題活動。
再以問題「 12︰28＝3︰（ ）」為例，四項比例式中第一項和第三項間有單位分數倍關係，學童可以利用倍數法解決問題，並用算式「 12÷3＝4，28÷4＝7」記錄解題活動。
分數倍轉換
以問題「 6︰9＝21︰（ ）」為例，四項比例式中第一、三項，第一、二項之間都沒有整數倍與單位分數倍關係時，學童無法利用整數乘法及除解決問題，因為中年級學童無法掌握分數及小數的乘法及除法的意義，筆者建議中年級階段不宜出現此類問題。
b.第二個因素：比例式中括號的位置
四項比例式「 3︰7＝（ ）︰21」及「3︰7＝9︰（ ）」中括號位置在第三、四項時，稱為正向的活動，學童比較容易從等號左邊順向思考，推算出右邊的答案。四項比例式「（ ）︰7＝3︰21」及「 3︰（ ）＝9︰21」中括號位置在第一、二項時，稱為逆向的活動，學童必須由等號右邊逆推算出左邊的答案，對學童而言比較困難。由認知發展的觀點來看，逆向活動能力的發展在正向活動之後，必須先累積足夠正向活動的解題經驗，並掌握正向活動解題的意義，才能發展出逆向活動。
c.第三個因素：比例式中數字的型態
四項比例式中的數字是整數、分數、小數，和解題的難易度有關，家長或教師在命題時應，比須考慮學童分數及小數的運算能力，選擇合適的數字範圍。
當學童學會相等的比或內項乘以內項等於外項乘以外項策略，並掌握分數及小數的運算，以及乘除互逆及等量公理時，所有比的計算問題都能迎刃而解。
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