很多家長與教師認為比的教學相當的困難，本期開始討論與比有關的教學，內容包含比與比值的教學、百分率的教學、速率的教學與倍的問題的教學等，希望對讀者們幫助學童學習比的意義有所幫助。
（一）比的教學
筆者區分成五個部份與讀者們討論比的教學，第一部份討論乘法問題與比的問題的差異，第二部份討論比的問題的解題策略，第三部份討論最簡單整數比及其應用，第四部份討論連比的意義，第五部份討論影響比的教學難度的因素。
（1）乘法問題與比的問題的差異
問題一 1 枝鉛筆賣 3 元，4 枝鉛筆賣幾元？
問題一中有兩個可以計數的單位，第一個單位是「 1 枝」，第二個單位是「 1 元」，問題一中已知「 1 枝」鉛筆賣 3 個「1 元」，要解題者算出 4 個「 1 枝」鉛筆賣多少個「 1 元」。
有兩種解決問題一的方法，第一種方法是將「 1 元」視為計數的單位，透過點數、加法及乘法算出「 1 元」的個數。第二種方法是將「 1 枝鉛筆賣 3 元」視為計數的單位，透過複製或累積「 1 枝鉛筆賣 3元」的方式解決 4 枝鉛筆賣幾元的問題。
下面分別說明這兩種解題方法的意義。
a. 以「 1 元」為單位的解題策略：
這種策略點數的對象是「 1 元」，學童可以透過畫出「 1 元」的方式點數「 1 元」的個數，學童用「①」代表「 1 元」，先畫出「①①①」代表 3 個「 1 元」，接著將「①①①」複製 4 次代表 4 枝鉛筆的錢數，畫出「①①①、①①①、①①①、①①①」後，再點數共有多少個「 1 元」，就可以算出 4 枝鉛筆賣 12 個「 1 元」，也就是 12 元的答案。
當學童學會加法後，就能夠以「 3 元」為單位，較有效率的利用加法「 3＋3＋3＋3＝12」算出 4 個 3 元合起來是 12 元，得到 4 枝鉛筆賣 12 元的答案。當學童學會乘法後，就能夠以「 3 元」為單位，更有效率的利用乘法「 3×4＝12 」算出 3 元的 4 倍是 12 元，得到 4 枝鉛筆賣 12 元的答案。換句話說，加法和乘法是解決有多少個「 1 元」的解題工具。
b.以「 1 枝鉛筆賣 3 元」為單位的解題策略：
「 1 枝鉛筆賣 3 元」也是一個可以計數的單位，這個單位是比的形式，可以記成「 1：3 」，因為「枝」和「元」是不同的單位，習慣上我們會在異類項比的後面加上單位，來溝通這個不同單位比的意義，將「 1 枝鉛筆賣 3 元」記成「 1 枝：3 元」，或用比值的形式來記錄，將「 1 枝鉛筆賣 3 元」記成「 3 元／枝」。
「 1 枝鉛筆賣 3 元」中有「 1 枝」和「1 元」兩個單位，但是將這兩個單位併置在一起，就會產生質變，變成售價的概念。幫助學童將「 1 枝鉛筆賣 3 元」或「 3 元／枝」視為一個可以計數的單位，是比的重要概念。下面的記法說明如何幫助學童將「 1 枝鉛筆賣 3 元」視為一個可以計數的單位，並透過複製或累積這個單位解決問題一。
如下圖，將「✏：①①①」或「 1 枝：3 元」複製或累積 4 次，將複製或累積的單位合起來就可以得到「 4 枝：12 元」，也就是 4 枝鉛筆賣 12 元的答案。
✏：①①①
✏：①①①
✏：①①①
✏：①①①
-----------------------------
合起來 4 枝：12 元
1 枝：3 元
1 枝：3 元
1 枝：3 元
1 枝：3 元
-----------------------------
合起來 4 枝：12 元
（2）比的問題的解題策略
問題二 3 枝鉛筆賣 5 元，9 枝鉛筆賣幾元？
筆者接著以問題二為例，說明解決比的問題可以有單價法、倍數法、將比視為單位以及內項乘以內項等於外項乘以外項等四種解題策略，以及如何幫助學童使用這些策略解決問題。
a.單價法：
單價法是以「 1 元」為單位的解題策略，是成人最常使用的解題策略，因為算出1 枝鉛筆賣多少元後，就能夠透過加法或乘法算出 9 枝鉛筆賣多少元。會算「整數除以整數，商數是分數的等分除問題」，以及「分數乘以整數的乘法問題」，是使用單價法解決問題二的先備經驗。
當學童會算「整數除以整數，商數是分數的等分除問題」，就能夠利用除法「 5÷3＝5/3」算出 1 枝鉛筆的單價是5/3元，當學童會算「分數乘以整數的乘法問題」，就能夠利用乘法「5/3×9＝15 」算出 9 枝鉛筆賣 15 元的答案。
b.倍數法：
學童不會算「整數除以整數，商數是分數的等分除問題」，也能夠利用倍數法解決問題二。因為會算「整數除以整數，商數是整數的等分除問題」，以及「整數乘以整數的乘法問題」，就能夠使用倍數法解決問題二。
倍數法也是以「 1 元」為單位的解題策略，成人也常使用該策略解決比的問題，倍數法不必算出 1 枝鉛筆的單價，倍數法利用「 9 枝鉛筆是 3 枝鉛筆的 3 倍，因此9 枝鉛筆的總價是 3 枝鉛筆總價的 3 倍」的想法，先用除法「 9÷3＝3 」算出 9 枝鉛筆是 3 枝鉛筆的 3 倍，再用乘法「 5×3＝15」算出 5 元的 3 倍是 15 元，也就是9 枝鉛筆賣 15 元的答案。
因為單價法及倍數法都是以「 1 元」為單位的解題策略，也是成人較熟悉的解題策略，因此多數家長或教師都幫助初學比的學童使用這兩種策略解決比的問題。
c.將比視為單位：
如果學童能將「 3 枝鉛筆賣 5 元」視為一個單位，就能夠透過複製或累積 3 次「3 枝鉛筆賣 5 元」，得到 9 枝鉛筆賣 15 元的答案。下面的記法中，左邊及右邊的算式都記錄了複製或累積 3 次「 3 枝鉛筆賣5 元」得到 9 枝鉛筆賣 15 元的結果，只是下面的算式比上面抽象。
✏✏✏：①①①①①
✏✏✏：①①①①①
✏✏✏：①①①①①
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合起來 9 枝：15 元
3 枝：5 元
3 枝：5 元
3 枝：5 元
-----------------------------
合起來 9 枝：15 元
當學童使用上面三種策略解題，知道「3 枝鉛筆賣 5 元」和「 9 枝鉛筆賣 15 元」的售價相同，是相等的比後，教師應該要求學童使用四項比例式「 3：5＝9：15 」來記錄解題過程，幫助學童發展出先列式、再求解的活動流程，以增進解題效率。
當學童有足夠使用四項比例式記錄解題過程的經驗後，可以要求學童先將問題二記成算式填充題「 3：5＝9：( )」或「 3：5＝9：x 」，再利用上面三種策略算出答案，為幫助學童發展出最有效率的「內項乘以內項等於外項乘以外項」解題策略鋪路。
d.內項乘以內項等於外項乘以外項（外項乘以外項等於內項乘以內項）
學童必須學會比值之後，才能理解「內項乘以內項等於外項乘以外項」或「外項乘以外項等於內項乘以內項」策略的意義。筆者先說明為什麼內項乘以內項會等於外項乘以外項，再說明如何幫助學童使用「內項乘以內項等於外項乘以外項」或「外項乘以外項等於內項乘以內項」解決問題。
筆者以「 3：5＝9：15 」為例，說明為什麼內項乘以內項會等於外項乘以外項。
3：5＝3÷5＝3/5 是 3：5 的比值
9：15＝9÷15＝9/15 是 9：15 的比值
3/5 = 9/15 兩個比相等，則兩個比的比值也相等
(3×15)/(5×15) = (9×5)/(15×5) 以5X15為分母，將(3×15)/(5×15)與(9×5)/(15×5) 通分
3×15＝9×5 （兩個相等分數的分母及分子都會相等，得到四項比例式「3：5＝9：15」外項乘以外項會等於內項乘以內項的結果）
9×5 = 3×15 （乘法交換律，得到四項比例式「 3：5＝9：15 」內項乘以內項會等於外項乘以外項的結果）
面對問題二，最有效率的解題方式是先用算式填充題「 3：5＝9：（ ）」記錄問題，透過「外項乘以外項會等於內項乘以內項」得到算式填充題「 3×（ ）＝5×9 」後，再利用乘除互逆「 3×（ ）＝5×9＝45，則（ ）＝45÷3＝15 」或等量公理「 3×（ ）＝5×9＝45，（ ）＝45×1/3＝15」算出答案。因為國小六年級才引入比值的意義，建議家長或教師們在教完比值後才能引入「內項乘以內項等於外項乘以外項」或「外項乘以外項等於內項乘以內項」的解題策略。順便提醒讀者，儘早幫助學童使用未知數 x 來替代位置（ ），因為（ ）不是未知數，不容易被運算。
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