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(四)單位的化聚

有兩個以上的單位,才會有單位間化與聚的問題。其中較大的單位轉換為較小的單位稱之為化、較小的單位轉換成較大的單位稱之為聚。

單位呈現的格式有兩種,一種稱為單名數,例如:3 公尺、3.6 公克、2/7 公升、5 小時等都是單名數;另一種稱為複名數,例如 3 公尺 20 公分、3 日 5 時 20 分 30 秒等都是複名數。

單位化聚的類型可以區分為四類,第一類是整數倍單名數化聚、第二類是整數倍複名數化聚、第三類是分、小數倍單名數化聚、第四類是分、小數倍複名數化聚。

整數倍單名數化聚又可以區分為兩類,一類是大單位化成小單位,例如 3 公尺=300 公分、2 日= 48 小時。另一類是小單位聚成大單位,例如 5000 公克= 5 公斤、720 分= 12 時。

整數倍複名數化聚也可以區分為兩類,一類是大單位化成小單位,例如 3 公尺 20 公分= 320 公分、2 日 15 時= 63 時。另一類是小單位聚成大單位,例如 5400 公克= 5 公斤 400 公克、1520 分= 1 日 1 時 20 分。

分、小數倍單名數化聚也可以區分為兩類,一類是大單位化成小單位,例如 0.2 公尺= 20 公分、3.2 公尺= 320 公分、2.6 日= 62.4 小時。另一類是小單位聚成大單位,例如 40 公克= 0.04 公斤、5040公克= 5.04 公斤、615 分= 10.25 時。

分、小數倍複名數化聚也可以區分為兩類,一類是大單位化成小單位,例如 3.2公尺= 3 公尺 20 公分、2 日 12 時= 2.5日。另一類是小單位聚成大單位,例如 5公斤 40 公克= 5.04 公斤、4 時 15 分=4.25 時。

下面分成整數倍單名數化聚(大單位化成小單位)、整數倍單名數化聚(小單位聚成大單位)、分、小數倍單名數化聚(大單位化成小單位)、分、小數倍單名數化聚(小單位聚成大單位)、整數倍複名數化聚(大單位化成小單位)、整數倍複名數化聚(小單位聚成大單位)、分、小數倍複名數化聚(大單位化成小單位)、分、小數倍複名數化聚(小單位聚成大單位)等八個部份,概略說明如何幫助學童學習單位化聚的問題。

(1)整數倍單名數化聚(大單位化成小單位)
 

例題:5公尺=(      )公分

學童可以透過將 1 公尺化成 100 公分的策略,也可以利用比或四項比例式策略解決問題。

策略甲:1 公尺化成 100 公分

先備經驗:
(a)1 公尺= 100 公分
(b)5 公尺是 5 個 1 公尺

解題想法:
5 公尺→ 5 個 1 公尺

         →5 個 100 公分 

         →100 公分的 5 倍

         →500 公分

解題記錄:

(a)加法算式:   100 + 100 + 100 + 100 + 100= 500,答:500 公分
(b)乘法算式: 100 × 5 = 500,答:500 公分

策略乙:比(四項比例式)

先備經驗:

(a)1 公尺= 100 公分
(b)四項比例式 1:100 = 5:( ),或 1:100 = 5:x
(c)相等的比 1:100 = 5:500
(d)內項乘內項等於外項乘外項:1:100 = 5:x  → 1 × x = 100 × 5

解題想法:

1 公尺:100 公分= 5 公尺:(  )公分

→ (  )= 500(公分)

或 1 公尺:100 公分 = 5 公尺:x 公分

→ x = 500(公分)。

解題記錄:

(a)相等的比:
          1:100 = 5:500 = 5:(  ) 
         →(  )= 500(公分)
(b)內項乘內項等於外項乘外項: 
          1:100 = 5:x
          100×5 = 1×x 
         → x = 500(公分)

(2)整數倍單名數化聚(小單位聚成大單位)

例題:3000 公克=(  )公斤

學童可以透過將 1000 公克聚成 1 公斤的策略、1 公克= 0.001 公斤策略或利用比或四項比例式策略解決問題。

策略甲:將 1000 公克聚成 1 公斤

先備經驗:
(a)1000 公克= 1 公斤

(b)3000 公克是 3 個 1000 公克

解題想法:

3000 公克→3 個 1000 公克
               →3 個 1 公斤

               →3 公斤

解題記錄:

(a)減法算式:
         3000 - 1000 = 2000,
         2000 - 1000 = 1000,
         1000 - 1000 = 0
         答:3
(b)除法算式:
         3000 ÷ 1000 = 3
         答:3 公斤

策略乙:1 公克= 0.001 公斤

先備經驗:

(a)1000 公克= 1 公斤 →1 公克= 0.001 公斤
(b)3000 公克是 3000 個 1 公克
(c)小數乘以整數:0.001 × 3000

解題想法:

3000 公克→3000 個 1 公克
→3000 個 0.001 公斤

→0.001 公斤的 3000 倍

→3 公斤

解題記錄:

(a)乘法算式:
         0.001 × 3000 = 3 ,答:3 公斤

策略丙:比(四項比例式)

先備經驗:

(a)1 公斤= 1000 公克
(b)四項比例式:
          1:1000 =( ):3000,或
          1:1000 = x:3000
(c)相等的比:
          1:1000 = 3:3000
(d)內項乘內項等於外項乘外項:
          1:1000 = x:3000

      → 1000 × x = 3000 × 1

(e)等量公理:
           1000 × x = 3000 × 1
       → x = 3000 ÷ 1000

解題想法:

1 公斤:1000 公克
=(  )公斤:3000 公克
→ (  )= 3 (公斤)
或  1 公斤:1000 公克
= x 公斤:3000 公克
→ x = 3 (公斤)

解題記錄:

(a)相等的比:
          1:1000 = 3:3000 
          =(  ):3000
      → (  )= 3(公斤)
(b)內項乘內項等於外項乘外項:
          1:1000 = x:3000 
      → 1 × 3000 = 1000 × x
      → x = 3(公斤)

(文/國立台南大學數學教育系  謝堅教授)

 

 

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